1) Định nghĩa bất đẳng thức
+ a nhỏ hơn b , kí hiệu a
+ a lớn hơn b , kí hiệu a > b ,
+ a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b,
+ a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b ,
2) Một số tính chất của bất đẳng thức:
a) Nếu và thì (tính chất bắc cầu)
b) Nếu a>b và c bất kì thì a+c>b+c
Bạn đang xem tài liệu "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức cho THCS", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
MỘT SỐ PP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHO THCS 1) Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ hơn b , kí hiệu a b , + a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b, + a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b , 2) Một số tính chất của bất đẳng thức: a) Nếu và thì (tính chất bắc cầu) b) Nếu a>b và c bất kì thì a+c>b+c Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất kì thì bất đẳng thức không đổi chiều. c) Nếu a>b+c thì a-c>b Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó. d) Nếu a>b và c>d thì a+c>b+d Tức là: Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: Không được cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều e) Nếu a>b và c thì a-c>b-d Tức là: Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều ta đượcmột bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ. Chú ý: Không được trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều. f) Nếu a>b và c>0 thì ac>bc Nếu a>b và cb>0 và c>d>0 thì ac>bd Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có các vế đều dương thì ta được một bất đẳng thức cung chiều. Chú ý: Không được nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ngược chiều. h) Nếu thì Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dương thì phép lấy nghịch đảo dổi chiều của bất đẳng thức. k) Nếu a>b>0 và n nguyên dương thì Nếu a>b và n nguyên dưong thì 1. Phương pháp sử dụng định nghĩa Để chứng minh (hoặc) ta chứng minh (hoặc ) - Lưu ý : A2 0 với mọi A ; dấu "" = "" xảy ra khi A = 0 . - Ví dụ : Chứng minh bất đẳng thức Côsi đối với hai số thực không âm ( còn gọi là bất đẳng thức Ơclit ) Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a=b Giải: Với mọi a,b không âm Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a=b2. Phương pháp biến đổi tương đương - Để chứng minh ta biến đổi tương đương trong đó bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng hoặc là bất đẳng thức đơn giản hơn bất đẳng thức - Một số hằng đẳng thức thường dùng : (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3Ví dụ: Chứng minh rằng thì Giải. Bất đẳng thức đang xét tương đương với bấ đẳng thức sau: (nhân hai vế với 4, chuyển vế)3. Phương pháp quy nạp toán học - Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0) + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 + Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0) Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có n số (n N) Thì ta nên chú ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học - Ví dụ : Chứng minh bất đẳng thức Côsi trong trường hợp tổng quát. Với thì Giải: Dùng phương pháp quy nạp: + Với n = 2 đúng. + Với n = k đúng cần chứng minh (để chứng minh dựa vào bất đẳng thức phụ sau: x>0 thì4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-sy: Với 2 số a,b không âm ta có: Dấu "=" xảy ra khi a=b Chứng minh: Dấu "=" xảy ra khi a=b. Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-sy (Cauchy):Cho n là số tự nhiên thì Dấu "=" xảy ra khi Ví dụ:Cho a,b,c >0 chứng minh rằng: Giải:Áp dụng bất đẳng thức Cô-sy cho 3 số dương ta có: (1) (2) Nhân từng vế của (1) và (2) ta được Dấu "=" xảy ra khi a=b=c Cách khác: Dấu "=" xảy ra khi a=b=c. 5. Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Bunhacôpski
Cho a, b, c là số thực thì hoặc viết Dấu "=" xảy ra khi Tổng quát: Dấu "=" xảy ra khi Ví dụ: Cho . Chứng minh rằng:Giải:6. Phương pháp phản chứng. - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý . Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng . - Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết . + Phủ định rồi suy ra trái với đ
Iều đúng . + Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau . + Phủ định rồi suy ra kết luận . Ví dụ: Chứng minh rằng không có 3 số a,b,c dương cùng thỏa mãn 3 bất đẳng thức:Giải:Giả sử tồn tại cả 3 số dương thỏa mãn bất đẳng thức
Cộng theo từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:Mà theo bất đẳng thức Cô-sy thì Điều này mâu thuẫn với (1) nên không tồn tại 3 số a,b,c dương cùng thỏa mãn bất đẳng thức trên.7. Phương pháp làm trội, làm giảm. Dùng tính chất của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn. Ví dụ: Với n là số tự nhiên thì: Giải:Với số tự nhiên k>1 ta có: Thay k = 2,3,4 ... n rồi cộng các 2 vế của các bất đẳng thức ta được:8. Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số:Để chứng minh b y - f(x) = 0 có nghiệm b 0 ta có: Nếu thì Nếu thì Nếu d > 0 và thì Ví dụ: Cho a,b,c > 0 chứng minh rằng:Giải: Ta có: Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh.10. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối. a/ b/ c/ hoặc d/ dấu = khi A.B >0 e/ dấu = khi A>B>0 hoặc A 0 và . Cmr : Híng dÉn gi¶i
Bài 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương, chú ý không dùng bất đẳng thức Cosi vì bài không cho a, b không âm.Bài 2: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa về tổng các bình phương luôn không âm.Bài 3: Cách làm tương tự bài 3.Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
Bài 5 : Biến đổi tương đương tạo thành tích của 2 số không âm.Bài 6 : Biến đổi tương đương
Biến đổi tạo thành biểu thức không âm
Bài 7 : Áp dụng bất đẳng thức Cosi 2 phát là xong :Bài 8: Tương tự bài 7Bài 9: Sử dụng bất đẳng thức: (đã chứng minh bài 8)Chú ý sử dụng kĩ thuật tách hạng tử: (p là nửa chu vi )Bài 10:Biến đổi lại áp dụng bài 8 là xong.Bài 11: Áp dụng bất đẳng thức cosi 2 lần cho 3 số.Bài 12: Cộng hai vế của BĐT với 3 thì BĐT cần chứng minh trở thànhÁp dụng bất đẳng thức của bài 11 là xong !Bài 13 : BĐT áp dụng bài 11 xong !
Tài liệu Giáo viên
Lớp 2Lớp 2 - Kết nối tri thức
Lớp 2 - Chân trời sáng tạo
Lớp 2 - Cánh diều
Tài liệu Giáo viên
Lớp 3Lớp 3 - Kết nối tri thức
Lớp 3 - Chân trời sáng tạo
Lớp 3 - Cánh diều
Tài liệu Giáo viên
Tài liệu Giáo viên
Lớp 4Lớp 4 - Kết nối tri thức
Lớp 4 - Chân trời sáng tạo
Lớp 4 - Cánh diều
Tiếng Anh lớp 4
Tài liệu Giáo viên
Lớp 5Sách giáo khoa
Sách/Vở bài tập
Tài liệu Giáo viên
Lớp 6Lớp 6 - Kết nối tri thức
Lớp 6 - Chân trời sáng tạo
Lớp 6 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 7Lớp 7 - Kết nối tri thức
Lớp 7 - Chân trời sáng tạo
Lớp 7 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 8Lớp 8 - Kết nối tri thức
Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
Lớp 8 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 9Sách giáo khoa
Sách/Vở bài tập
Tài liệu Giáo viên
Lớp 10Lớp 10 - Kết nối tri thức
Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
Lớp 10 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 11Lớp 11 - Kết nối tri thức
Lớp 11 - Chân trời sáng tạo
Lớp 11 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 12Sách giáo khoa
Sách/Vở bài tập
Tài liệu Giáo viên
Giáo viênLớp 1
Lớp 2
Lớp 3
Lớp 4
Lớp 5
Lớp 6
Lớp 7
Lớp 8
Lớp 9
Lớp 10
Lớp 11
Lớp 12
Lý thuyết, các dạng bài tập Toán 8Toán 8 Tập 1I. Lý thuyết & trắc nghiệm theo bài
II. Các dạng bài tập
I. Lý thuyết & trắc nghiệm theo bài
II. Các dạng bài tập
Toán 8 Tập 1I. Lý thuyết & trắc nghiệm theo bài học
II. Các dạng bài tập
Tổng hợp các cách chứng minh bất đẳng thức hay, chi tiết
Với Cách chứng minh bất đẳng thức hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Đại số sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.
Bạn đang xem: Chứng minh bất đẳng thức lớp 8
Dạng 1: Sử dụng biến đổi tương đương
A. Phương pháp giải
Một số kĩ thuật cơ bản:
+ Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức
+ Kỹ thuật sử dụng các hằng đẳng thức
+ Kỹ thuật thêm bớt một hằng số, một biểu thức
+ Kỹ thuật đặt biến phụ
+ Kỹ thuật sắp thứ tự các biến.
+ Kỹ thuật khai thác tính bị chặn của các biến
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Cho a và b là hai số bất kỳ chứng minh rằng
Lời giải:
Câu 2:
Lời giải:
Áp dụng:
Ta viết bất đẳng thức
đúng theo bất đẳng thức vừa chứng minh ở trên.
Câu 3: Chứng minh rằng với ba số a,b,c tùy ý ta luôn có:
Lời giải:
Xét hiệu:
C. Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:
Câu 2: Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:
Câu 3: Cho a, b, c, d, e là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:
Câu 4: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a, b, c ≥1. Chứng minh rằng:
Câu 5: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Câu 6: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=0 .
Chứng minh rằng
Xem thêm: Người tình ánh trăng kenh14, chủ đề moonlight vs, chủ đề moonlight vs
Câu 7: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Câu 8: Chứng minh rằng với mọi số thực khác không a, b ta có:
Dạng 2: Sử dụng phương pháp phản chứng
A. Phương pháp giải
+ Dùng mệnh đề đảo
+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết
+ Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng
+ Phủ định rồi suy ra hai mệnh đề trái ngược nhau
+ Phủ định rồi suy ra kết luận
*Một số đẳng thức và bất đẳng thức cần nhớ:
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Chứng minh rằng:
Lời giải:
Điều này là vô lý với mọi a và b
Vậy điều giả sử là sai →điều phải chứng minh.
Câu 2: Cho ba số a, b, c ∈ (0;1) . Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:
Lời giải:
Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều đúng. Theo giả thiết a, b, c, 1-a, 1-b, 1-c đều là số dương suy ra
Mặt khác:
Câu 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn các điều kiện sau:
Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều là số dương.
Lời giải:
Giả sử rằng trong ba số a, b, c có một số không dương, không mất tổng quát ta chọn số đó là a, tức là a≤0.
Vì abc>0 nên a≠0, do đó suy ra aa) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có |a ± b| ≥ |a| - |b|.b) Biết rằng | a | > 2 | b |. Chứng minh rằng |a|
